А2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C = 90°, LA = 30°, AC = 10 см, CD высота, проведенная к сто- роне АВ, ДЕ - перпендикуляр, проведенный из точки Д к стороне АС. Чему равна длина АЕ? 1) 8 см 2) 6 см 3) 5 см 4) 7,5 см

• В прямоугольном треугольнике ABC с углом ∠A = 30°, катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.
• Следовательно, BC = 1/2 AB.
• Т.к. AC = 10 см, можно найти AB, используя косинус угла A:

\[\cos(30°) = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[AB = \frac{AC}{\cos(30°)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}}\]

• Находим BC:

\[BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}\]

• Рассмотрим треугольник ADC:
• Угол ∠DAC = 30°, ∠ADC = 90°. Тогда ∠ACD = 60°.
• В прямоугольном треугольнике CDB, угол ∠BCD = 30°.
• Находим AD, используя теорему косинусов в треугольнике ADC:

\[AD = AC \cdot \cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\]

• Рассмотрим треугольник ADE, он прямоугольный, и угол ∠DAE = 30°. Тогда:

\[AE = AD \cdot \cos(30°) = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\]

Ответ: 4) 7,5 см