а) Решите уравнение \( (\cos x - 1)(\cos x + \sqrt{3}) \cos x = 0 \). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [0; \frac{9\pi}{2}] \).

Решение:

1. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
• \( \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\sqrt{3} \). Корней нет, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \).
• \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
2. Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [0; \frac{9\pi}{2}] \).
• Для \( x = 2\pi k \):
• \( k=0 \Rightarrow x=0 \)
• \( k=1 \Rightarrow x=2\pi \)
• \( k=2 \Rightarrow x=4\pi \)
• \( k=3 \Rightarrow x=6\pi \) (больше \( \frac{9\pi}{2} \approx 4.5\pi \))
• Для \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \):
• \( n=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} \)
• \( n=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \)
• \( n=2 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \)
• \( n=3 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \)
• \( n=4 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \)
• \( n=5 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2} \) (больше \( \frac{9\pi}{2} \))

Ответ: \( 0, \frac{\pi}{2}, 2\pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, 4\pi, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2} \).