5. Найдите значение выражения \( \frac{12 \sin 11^{\circ} \cos 11^{\circ}}{\sin 22^{\circ}} \).

Решение:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
2. Перепишем числитель: \( 12 \sin 11^{\circ} \cos 11^{\circ} = 6 \cdot (2 \sin 11^{\circ} \cos 11^{\circ}) = 6 \sin (2 \cdot 11^{\circ}) = 6 \sin 22^{\circ} \).
3. Подставим в выражение: \( \frac{6 \sin 22^{\circ}}{\sin 22^{\circ}} \).
4. Сократим \( \sin 22^{\circ} \): \( 6 \).

Ответ: 6.