4. Найдите \( \text{tg} \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} \) и \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Найдём \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{10}}{10} \right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \).
3. Так как \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \) (четвёртый квадрант), \( \sin \alpha \) отрицателен. \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \).
4. Найдём \( \text{tg} \alpha \): \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = -3 \).

Ответ: -3.