299. а) Расстояние между пристанями А и В равно 70 км. Из АВВ по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 26 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $$x$$ км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению $$x+2$$ км/ч, а против течения $$x-2$$ км/ч. Плот проплыл 26 км, следовательно, время движения плота равно $$\frac{26}{2} = 13$$ часов. Лодка была в пути 13 - 1 = 12 часов. Пусть время, за которое лодка доплыла от А до В, равно $$t_1$$, тогда время, за которое лодка доплыла от В до А, равно $$12 - t_1$$. Расстояние от А до В равно 70 км.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases}(x+2)t_1 = 70 \\(x-2)(12-t_1) = 70\end{cases}$$

Выразим $$t_1$$ из первого уравнения: $$t_1 = \frac{70}{x+2}$$. Подставим во второе уравнение:

$$\begin{aligned}(x-2)\left(12 - \frac{70}{x+2}\right) &= 70 \\12(x-2) - \frac{70(x-2)}{x+2} &= 70 \\12x - 24 - \frac{70x - 140}{x+2} &= 70 \\(12x - 24)(x+2) - (70x - 140) &= 70(x+2) \\12x^2 + 24x - 24x - 48 - 70x + 140 &= 70x + 140 \\12x^2 - 140x - 48 &= 0 \\3x^2 - 35x - 12 &= 0\end{aligned}$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-35)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2$$

$$x_1 = \frac{35 + 37}{6} = \frac{72}{6} = 12$$

$$x_2 = \frac{35 - 37}{6} = \frac{-2}{6} < 0$$, что не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной.

Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч.

Ответ: 12