9. Виды логарифмов. Логарифмическая функция, её график. Логарифмические уравнения и неравенства, способы их решения.

9. Логарифмическая функция

Виды логарифмов:

• Десятичный логарифм: Логарифм по основанию 10. Обозначается \( \log_{10} b \) или \( \lg b \).
• Натуральный логарифм: Логарифм по основанию \( e \) (число Эйлера, \( e \approx 2.718 \)). Обозначается \( \log_e b \) или \( \ln b \).

Логарифмическая функция: Функция вида \( y = \log_a x \), где \( a > 0 \) и \( a
e 1 \).

Свойства логарифмической функции:

• Область определения: \( D(y) = (0; +\infty) \).
• Множество значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
• Проходит через точку (1; 0).
• Монотонность:
  • Если \( a > 1 \), функция возрастает на всей области определения.
  • Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает на всей области определения.
• График: График симметричен графику показательной функции \( y = a^x \) относительно прямой \( y = x \).

Логарифмические уравнения: Уравнения, содержащие неизвестное в аргументе логарифма.

Способы решения:

1. Приведение к одному основанию: \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) \( \implies \) \( f(x) = g(x) \) (с учётом области определения: \( f(x) > 0, g(x) > 0 \)).
2. Использование определения логарифма: \( \log_a x = b \) \( \implies \) \( x = a^b \).
3. Сведение к линейному или квадратному уравнению с помощью свойств логарифмов.

Логарифмические неравенства:

Способы решения:

• Приведение к одному основанию:
• Если \( a > 1 \): \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) \( \implies \) \( f(x) > g(x) \) (с учётом \( f(x) > 0, g(x) > 0 \)).
• Если \( 0 < a < 1 \): \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) \( \implies \) \( f(x) < g(x) \) (с учётом \( f(x) > 0, g(x) > 0 \)).
• Использование монотонности: \( \log_a x > b \) \( \implies \) \( x > a^b \) (при \( a > 1 \)) или \( x < a^b \) (при \( 0 < a < 1 \)), с учётом \( x > 0 \).