1. Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме записи.

1. Комплексные числа

Понятие комплексного числа: Комплексное число — это число вида \( a + bi \), где \( a \) и \( b \) — действительные числа, а \( i \) — мнимая единица, такая что \( i^2 = -1 \). Число \( a \) называется действительной частью, а \( b \) — мнимой частью комплексного числа. Число \( bi \) называется чисто мнимым числом.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме записи:

Пусть даны два комплексных числа: \( z_1 = a + bi \) и \( z_2 = c + di \).

1. Сложение: \( z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \). Действительные и мнимые части складываются отдельно.

2. Вычитание: \( z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i \). Действительные и мнимые части вычитаются отдельно.

3. Умножение: \( z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \). Умножение выполняется по правилу умножения многочленов, учитывая, что \( i^2 = -1 \).

4. Деление: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \). Для выполнения деления числитель и знаменатель умножаются на число, комплект-сопряжённое знаменателю (то есть \( c - di \)):

\[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i \]

Свойства:

• Действия над комплексными числами аналогичны действиям над многочленами.
• Комплексные числа можно представить на комплексной плоскости.