3. Корни натуральной степени из числа и их свойства.

3. Корни натуральной степени

Определение: Арифметическим корнем натуральной степени \( n \) (где \( n \in \mathbb{N}, n \ge 2 \)) из неотрицательного действительного числа \( a \) называется неотрицательное действительное число \( b \), которое при возведении в \( n \)-ую степень даёт \( a \). Записывается как \( \sqrt[n]{a} = b \).

Свойства корней натуральной степени:

Пусть \( a \ge 0 \), \( b > 0 \), \( n, m \in \mathbb{N}, n \ge 2, m \ge 2 \).

1. Основное свойство: \( (\sqrt[n]{a})^n = a \)
2. Сравнение корня и подкоренного выражения:
   • Если \( n \) — чётное число, то \( \sqrt[n]{a} \) определен для \( a \ge 0 \).
   • Если \( n \) — нечётное число, то \( \sqrt[n]{a} \) определён для любого действительного \( a \).
3. Сравнение корней:
   • Если \( n \) — чётное число, то при \( a > 1 \) и \( m > k \) имеем \( \sqrt[n]{a^m} > \sqrt[n]{a^k} \).
   • Если \( n \) — нечётное число, то при \( a > 1 \) и \( m > k \) имеем \( \sqrt[n]{a^m} > \sqrt[n]{a^k} \).
4. Свойство извлечения корня из произведения: \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \)
5. Свойство извлечения корня из частного: \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
6. Возведение корня в степень: \( (\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k} \)
7. Извлечение корня из корня: \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
8. Приведение к общему показателю степени: \( \sqrt[n]{a^k} = \sqrt[nm]{a^{km}} \)
9. Степень с дробным показателем: \( \sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}} \)