8. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов.

8. Логарифмы

Понятие логарифма: Логарифмом положительного числа \( b \) по основанию \( a \) (где \( a > 0, a
e 1 \)) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Записывается как \( \log_a b = c \) и означает \( a^c = b \).

Основное логарифмическое тождество:

\( a^{\log_a b} = b \) (где \( a > 0, a
e 1, b > 0 \)).

Свойства логарифмов:

Пусть \( a > 0, a
e 1 \), \( b > 0, c > 0 \).

1. Логарифм единицы: \( \log_a 1 = 0 \) (так как \( a^0 = 1 \)).
2. Логарифм основания: \( \log_a a = 1 \) (так как \( a^1 = a \)).
3. Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
4. Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
5. Логарифм степени: \( \log_a (b^p) = p \cdot \log_a b \)
6. Переход к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) (где \( c > 0, c
   e 1 \)).
7. Следствие из формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
8. Связь между степенным показателем и логарифмом: \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \)