№9. В треугольнике АВС АС = ВС = 25, \( \sin B = \frac{\sqrt{91}}{10} \). Найдите АВ.

Решение:

В треугольнике ABC \( AC = BC = 25 \), значит, треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle A = \angle B \).

По условию \( \sin B = \frac{\sqrt{91}}{10} \). Следовательно, \( \sin A = \sin B = \frac{\sqrt{91}}{10} \).

Найдем \( \cos B \) по основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \).

\[ \cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \left(\frac{\sqrt{91}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{91}{100} = \frac{100 - 91}{100} = \frac{9}{100} \]

Так как \( B \) — угол треугольника, \( \cos B \) может быть как положительным, так и отрицательным. Однако, если \( B \) — тупой угол, то \( \sin B > 0 \) и \( \cos B < 0 \). Если \( B \) — острый угол, то \( \sin B > 0 \) и \( \cos B > 0 \). В равнобедренном треугольнике углы при основании могут быть острыми или тупыми. Если \( B \) тупой, то \( A=B \) тоже тупой, что невозможно для треугольника. Поэтому \( B \) — острый угол, и \( \cos B > 0 \).

\[ \cos B = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} \]

Теперь используем теорему косинусов для нахождения стороны \( AB \):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 1 AC 1 BC 1 \cos B \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 25^2 + 25^2 - 2 1 25 1 25 1 \frac{3}{10} \]

\( AB^2 = 625 + 625 - 2 1 625 1 \frac{3}{10} \)

\( AB^2 = 1250 - 1250 \u0031 \frac{3}{10} \)

\( AB^2 = 1250 - 125 1 3 \)

\( AB^2 = 1250 - 375 \)

\( AB^2 = 875 \)

\( AB = \sqrt{875} = \sqrt{25 \cdot 35} = 5\sqrt{35} \)

Ответ: \( 5\sqrt{35} \).