№8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S — вершина, \( SB = 13 \), \( AC = 24 \). Найдите длину отрезка SO.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основание ABCD — квадрат. Точка О — центр основания, значит, О является точкой пересечения диагоналей квадрата.

Диагонали квадрата равны и пересекаются в точке О, делясь пополам. Следовательно, \( AO = OC = BO = OD = \frac{AC}{2} \).

Так как \( AC = 24 \), то \( AO = BO = OC = OD = \frac{24}{2} = 12 \).

SO — высота пирамиды, проведенная из вершины S к центру основания O. Треугольник \( SOB \) является прямоугольным, так как SO перпендикулярно основанию, а значит, и любому отрезку, лежащему в основании и проходящему через точку О, в том числе BO.

В прямоугольном треугольнике \( SOB \) по теореме Пифагора имеем:

\[ SO^2 + BO^2 = SB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ SO^2 + 12^2 = 13^2 \]

Вычислим квадраты:

\[ SO^2 + 144 = 169 \]

Найдем \( SO^2 \):

\[ SO^2 = 169 - 144 \]

\( SO^2 = 25 \)

Извлечем квадратный корень:

\[ SO = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: 5.