№6. Найдите значение выражения: \( 9^{2\log_9 5 - 1} \)

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней и логарифмов:

1. Свойство логарифма: \( k \log_b x = \log_b x^k \)
2. Свойство логарифма: \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \)
3. Основное логарифмическое тождество: \( b^{\log_b x} = x \)

Преобразуем показатель степени:

\[ 2\log_9 5 - 1 = \log_9 5^2 - \log_9 9 \quad \text{(так как } \log_9 9 = 1 \text{)}\]
\[ = \log_9 25 - \log_9 9 = \log_9 \frac{25}{9} \]

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ 9^{2\log_9 5 - 1} = 9^{\log_9 \frac{25}{9}} \]

Используя основное логарифмическое тождество:

\[ 9^{\log_9 \frac{25}{9}} = \frac{25}{9} \]

Ответ: \( \frac{25}{9} \).