№9. В треугольнике \( ABC \) \( AC = BC \), \( AB = 12 \), \( \cos B = \frac{2\sqrt{21}}{21} \). Найдите высоту \( CH \).

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( ABC \) с \( AC = BC \). Высота \( CH \) в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой. Значит, \( AH = HB = \frac{AB}{2} \).

1. Найдем длину отрезка \( HB \): \( HB = \frac{12}{2} = 6 \).
2. В прямоугольном треугольнике \( CHB \) (так как \( CH \) — высота) мы знаем \( HB = 6 \) и \( \cos B = \frac{2\sqrt{21}}{21} \).
3. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \( \cos B = \frac{HB}{BC} \).
4. Выразим \( BC \) из этой формулы: \( BC = \frac{HB}{\cos B} = \frac{6}{\frac{2\sqrt{21}}{21}} = 6 \cdot \frac{21}{2\sqrt{21}} = 3 \cdot \frac{21}{\sqrt{21}} = 3\sqrt{21} \).
5. Теперь используем теорему Пифагора для треугольника \( CHB \): \( CH^2 + HB^2 = BC^2 \).
6. Подставим известные значения: \( CH^2 + 6^2 = (3\sqrt{21})^2 \).
7. \( CH^2 + 36 = 9 \cdot 21 \).
8. \( CH^2 + 36 = 189 \).
9. \( CH^2 = 189 - 36 \).
10. \( CH^2 = 153 \).
11. \( CH = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17} \).

Ответ: \( 3\sqrt{17} \).