№10. Решите уравнение: \( 2\sin^2 x + 5\sin(\frac{3\pi}{2} - x) - 2 = 0 \)

Решение:

Для решения уравнения используем тригонометрические тождества.

1. Вспомним формулу приведения: \( \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x \).
2. Подставим это в исходное уравнение: \( 2\sin^2 x + 5(-\cos x) - 2 = 0 \).
3. \( 2\sin^2 x - 5\cos x - 2 = 0 \).
4. Теперь используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
5. Заменим \( \sin^2 x \) в уравнении: \( 2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 2 = 0 \).
6. Раскроем скобки: \( 2 - 2\cos^2 x - 5\cos x - 2 = 0 \).
7. Упростим: \( -2\cos^2 x - 5\cos x = 0 \).
8. Умножим на -1: \( 2\cos^2 x + 5\cos x = 0 \).
9. Вынесем общий множитель \( \cos x \) за скобки: \( \cos x (2\cos x + 5) = 0 \).
10. Получаем два случая:
• Случай 1: \( \cos x = 0 \).
• Это происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
• Случай 2: \( 2\cos x + 5 = 0 \).
• \( 2\cos x = -5 \).
• \( \cos x = -\frac{5}{2} \).
• Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), это уравнение не имеет решений.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).