9. В равностороннем треугольнике сторона равна 2/3 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр.

Сторона равностороннего треугольника \( a = \frac{2}{3} \) см.

Площадь равностороннего треугольника \( S = \frac{a^2 √{3}}{4} \).

\( S = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2 √{3}}{4} = \frac{\frac{4}{9} √{3}}{4} = \frac{4 √{3}}{9 × 4} = \frac{√{3}}{9} \) см².

Периметр равностороннего треугольника \( P = 3a = 3 × \frac{2}{3} = 2 \) см.

Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см.

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{√{3}}{9}}{1} = \frac{√{3}}{9} \) см.

Альтернативная формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник:

\[ r = \frac{a}{2√{3}} \]

\( r = \frac{\frac{2}{3}}{2√{3}} = \frac{2}{3 × 2√{3}} = \frac{1}{3√{3}} \).

Умножим числитель и знаменатель на \( √{3} \):

\( r = \frac{1 × √{3}}{3√{3} × √{3}} = \frac{√{3}}{3 × 3} = \frac{√{3}}{9} \) см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен ̲√{3}/9 см.