1. Четырёхугольник вписан в окружность. Угол АBD равен 65°, угол CAD равен 75°. Найдите угол ADC.

Решение:

1. Пусть \( O \) — центр окружности.
2. Вписанный угол \( \angle ABD = 65^{\circ} \) опирается на дугу \( AD \). Тогда градусная мера дуги \( AD \) равна \( 2 \cdot 65^{\circ} = 130^{\circ} \).
3. Вписанный угол \( \angle CAD = 75^{\circ} \) опирается на дугу \( CD \). Тогда градусная мера дуги \( CD \) равна \( 2 \cdot 75^{\circ} = 150^{\circ} \).
4. Угол \( \angle ADC \) является вписанным и опирается на дугу \( AC \). Дуга \( AC \) состоит из дуг \( AD \) и \( CD \).
5. Градусная мера дуги \( AC \) равна \( \text{градусная мера дуги } AD + \text{градусная мера дуги } CD = 130^{\circ} + 150^{\circ} = 280^{\circ} \).
6. Однако, угол \( \angle ADC \) в четырехугольнике является углом, опирающимся на меньшую дугу \( AC \). Полная окружность составляет \( 360^{\circ} \).
7. Градусная мера дуги \( ABC \) (большая дуга \( AC \)) равна \( 360^{\circ} - 280^{\circ} = 80^{\circ} \).
8. Угол \( \angle ADC \) опирается на дугу \( ABC \).
9. Следовательно, \( \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot (\text{градусная мера дуги } ABC) = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
10. Альтернативный подход: В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \).
11. \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \) и \( \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \).
12. \( \angle BAD = \angle CAD + \angle BAC \). \( \angle BAC \) опирается на дугу \( BC \). \( \angle ABD = 65^{\circ} \) опирается на дугу \( AD \), \( \angle ADB \) опирается на дугу \( AB \).
13. \( \angle CAD = 75^{\circ} \) опирается на дугу \( CD \).
14. \( \angle ADB = \angle ACB \) (опираются на дугу \( AB \)).
15. \( \angle BAC = \angle BDC \) (опираются на дугу \( BC \)).
16. \( \angle DBC = \angle DAC = 75^{\circ} \) (опираются на дугу \( DC \)).
17. \( \angle ACB = \angle ADB \).
18. \( \angle CBD = 75^{\circ} \).
19. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 65^{\circ} + 75^{\circ} = 140^{\circ} \).
20. \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Ответ: 40°.