4. В прямоугольную трапецию ABCD вписана окружность, точка касания делит большую боковую сторону на отрезки СЕ=9см и ED=16см. Чему равен периметр трапеции.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — прямоугольная трапеция, где \( AB \parallel CD \), \( BC \perp CD \) и \( BC \perp AB \). Окружность вписана в трапецию. Точка касания \( E \) находится на большей боковой стороне \( CD \).

В прямоугольной трапеции, точка касания на боковой стороне, не являющейся основанием (т.е. на \( CD \) в данном случае, если \( CD \) — большая боковая сторона), делит её на отрезки \( CE \) и \( ED \).

Так как трапеция прямоугольная, то одна из боковых сторон является высотой. Пусть \( BC = h \). Радиус вписанной окружности равен \( r \). В прямоугольной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности: \( h = 2r \).

Точка касания на боковой стороне \( CD \) делит её на отрезки \( CE = 9 \) см и \( ED = 16 \) см. Тогда длина большей боковой стороны \( CD = CE + ED = 9 + 16 = 25 \) см.

Если вписанная окружность касается стороны \( CD \) в точке \( E \), то \( CE = 9 \) и \( ED = 16 \) — это отрезки от вершины \( C \) до точки касания и от точки касания до вершины \( D \).

Обозначим точки касания на сторонах:

• \( BC \) — \( K \)
• \( AB \) — \( L \)
• \( CD \) — \( E \)
• \( AD \) — \( M \)

Тогда \( CK = CE = 9 \) (тангенциальные отрезки из \( C \)).

\( DE = DM = 16 \) (тангенциальные отрезки из \( D \)).

\( BK = BL = r \) (так как \( BC \) — высота, \( BC = 2r \)).

\( AL = AM \) (тангенциальные отрезки из \( A \)).

Из того, что \( BC = 2r \) и \( CK = 9 \), следует, что \( BC = 9 \) (если \( C \) — вершина прямого угла), но это противоречит условию, что \( E \) делит большую боковую сторону \( CD \) на 9 и 16. В прямоугольной трапеции, если провести перпендикуляр из \( B \) к \( CD \), мы получим квадрат \( BCLK \), где \( BK = BC = CL = CK = r \). Это означает, что \( BC \) является высотой и радиусом. У нас \( BC = 2r \).

В прямоугольной трапеции \( ABCD \) с прямым углом при \( C \) и \( B \), точка касания на \( CD \) (если \( CD \) — большее основание) делит её на отрезки. Пусть \( BC = h \). Тогда \( h = 2r \). Из \( C \) до точки касания на \( CD \) — отрезок \( CE = r \). Из \( D \) до точки касания на \( CD \) — отрезок \( DE = CD - r \).

Если \( E \) — точка касания на \( CD \), то \( CE = 9 \) и \( ED = 16 \). Тогда \( CD = 25 \).

Для прямоугольной трапеции, описанной около окружности, высота равна сумме отрезков, на которые точка касания делит основание, примыкающее к боковой стороне. Если \( CD \) — большее основание, то \( CD = 25 \).

Пусть \( BC = h \) — меньшая боковая сторона (высота). Тогда \( h = 2r \).

Точки касания на основаниях: \( L \) на \( AB \), \( E \) на \( CD \). Точки касания на боковых сторонах: \( K \) на \( BC \), \( M \) на \( AD \).

\( BK = BL = r \) (где \( r \) — радиус).

\( CK = CE = 9 \) (из вершины \( C \)).

\( DE = DM = 16 \) (из вершины \( D \)).

Тогда \( BC = CK = 9 \) (если \( C \) — вершина прямого угла, и \( CK \) — отрезок до касания на \( BC \)).

Но \( BC \) — высота, и высота равна диаметру вписанной окружности, \( BC = 2r \). Значит, \( r = 9/2 = 4.5 \).

Тогда \( CK = 4.5 \), а \( CE = 9 \) — это не совпадает.

Разберёмся с точки касания на \( CD \). \( CD = 25 \).

В прямоугольной трапеции \( ABCD \) ( \( ∠ C = ∠ B = 90^{\circ} \) ) проведём перпендикуляр из \( B \) на \( CD \). Получим квадрат \( BCKL \), где \( K \) — точка касания на \( BC \), \( L \) — на \( AB \). \( BC = BK = KL = CK = r \). Но \( BC = h = 2r \).

Значит, \( BC = 2r \). Точка касания \( E \) на \( CD \) делит её на \( CE = 9 \) и \( ED = 16 \). Значит \( CD = 25 \).

Из вершины \( C \) до точки касания на \( BC \) (пусть \( K \)) отрезок \( CK = r \). Из \( C \) до точки касания на \( CD \) (пусть \( E \)) отрезок \( CE \).

В прямоугольной трапеции \( ABCD \) ( \( ∠ B = ∠ C = 90^{\circ} \) ), вписана окружность. Пусть \( r \) — радиус. Тогда \( BC = AB = 2r \) (меньшая боковая сторона равна высоте и равна диаметру). Это не верно. Меньшая боковая сторона равна высоте \( h = 2r \).

Пусть \( BC \) — высота, \( BC = h = 2r \). Точка касания на \( BC \) — \( K \). Тогда \( BK = CK = r \).

Точка касания на \( CD \) — \( E \). \( CE = CK = r \).

Точка касания на \( AB \) — \( L \). \( BL = BK = r \).

Точка касания на \( AD \) — \( M \). \( AM = AL \) и \( DM = DE \).

Из условия \( E \) делит \( CD \) на \( CE=9 \) и \( ED=16 \). Значит \( CD = 25 \).

Так как \( CE = r \), то \( r = 9 \) см.

Тогда высота \( BC = 2r = 2 × 9 = 18 \) см.

Теперь найдём основание \( AB \).

\( DE = 16 \). Следовательно, \( DM = 16 \).

\( AL = AM \). \( AD = AM + DM = AL + 16 \).

\( AB = AL + LB = AL + r = AL + 9 \).

В прямоугольной трапеции \( ABCD \), если опустить перпендикуляр из \( A \) на \( CD \), получим прямоугольник \( ABLK \) (где \( K \) — точка на \( CD \)). \( AK = AB \), \( CK = BC = 18 \).

Это не прямоугольная трапеция. Это \( AB ∥ CD \) и \( BC ∥ AB \).

Значит, \( AB \) — меньшее основание, \( CD \) — большее основание.

\( BC = h = 2r \). \( CE = r \) (отрезок от \( C \) до касания на \( CD \)). \( DE = CD - r \). \( CD = 25 \).

\( r = CE = 9 \) см.

\( h = BC = 2r = 18 \) см.

\( AB = AL + LB = AL + r = AL + 9 \).

\( AD = AM + MD = AL + 16 \) (так как \( AM = AL \) и \( MD = DE = 16 \)).

В прямоугольной трапеции \( ABCD \) ( \( ∠ C = ∠ B = 90^{\circ} \) ), если опустить высоту из \( A \) на \( CD \) (пусть это точка \( F \)), то \( AF = BC = 18 \), \( CF = AB \). \( FD = CD - CF = 25 - AB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AFD \). \( AD^2 = AF^2 + FD^2 \).

\( (AL+9)^2 = 18^2 + (25-AB)^2 \).

\( (AL+9)^2 = 324 + (25 - (AL+9))^2 \).

\( (AL+9)^2 = 324 + (16 - AL)^2 \).

\( AL^2 + 18AL + 81 = 324 + 256 - 32AL + AL^2 \).

\( 18AL + 81 = 580 - 32AL \).

\( 18AL + 32AL = 580 - 81 \).

\( 50AL = 499 \).

\( AL = \frac{499}{50} = 9.98 \) см.

Тогда \( AB = AL + 9 = 9.98 + 9 = 18.98 \) см.

\( AD = AL + 16 = 9.98 + 16 = 25.98 \) см.

Периметр \( P = AB + BC + CD + AD \).

\( P = 18.98 + 18 + 25 + 25.98 = 87.96 \) см.

Проверим свойство описанной трапеции: сумма оснований равна сумме боковых сторон.

\( AB + CD = 18.98 + 25 = 43.98 \).

\( BC + AD = 18 + 25.98 = 43.98 \).

Сходится.

Ответ: Периметр трапеции равен 87.96 см.