8. Диагонали ромба равны 60см и 80 см. Найдите радиус окружности вписанной в ромб.

Решение:

Пусть \( d_1 = 60 \) см и \( d_2 = 80 \) см — диагонали ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Они делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.

Половины диагоналей: \( \frac{d_1}{2} = \frac{60}{2} = 30 \) см и \( \frac{d_2}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) см.

Найдем сторону ромба \( a \) по теореме Пифагора:

\( a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \).

\( a^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 \).

\( a = √{2500} = 50 \) см.

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} × 60 × 80 = 30 × 80 = 2400 \) см².

Также площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту: \( S = a × h \).

Высота ромба \( h \) равна диаметру вписанной окружности \( 2r \).

\( S = a × 2r \).

\( 2400 = 50 × 2r \).

\( 2400 = 100r \).

\( r = \frac{2400}{100} = 24 \) см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 24 см.