9. Уравнение касательной к графику функции y= x-3 / x+2 в точке с абсциссой хо= -3 имеет вид:

Решение:

Для нахождения уравнения касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) используется формула: \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \).

В данном случае \( f(x) = \frac{x-3}{x+2} \) и \( x_0 = -3 \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = -3 \):

\( f(-3) = \frac{-3-3}{-3+2} = \frac{-6}{-1} = 6 \).

2. Найдем производную функции \( f(x) \). Используем правило дифференцирования частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = x-3 \) и \( v = x+2 \).

\( u' = 1 \), \( v' = 1 \).

\( f'(x) = \frac{1 \cdot (x+2) - (x-3) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x+3}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2} \).

3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = -3 \):

\( f'(-3) = \frac{5}{(-3+2)^2} = \frac{5}{(-1)^2} = \frac{5}{1} = 5 \).

4. Подставим найденные значения в формулу касательной:

\( y = f(-3) + f'(-3)(x - (-3)) \)

\( y = 6 + 5(x + 3) \)

\( y = 6 + 5x + 15 \)

\( y = 5x + 21 \).

Среди предложенных вариантов:

• 1) \( y = -5x+23 \) - неверно.
• 2) \( y = -5x+21 \) - неверно.
• 3) \( y = 5x+23 \) - неверно.
• 4) \( y = 5x+21 \) - верно.

Ответ: 4) \( y = 5x+21 \).