10. Через точки А и В прямой АВ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а и пересекающие ее соответственно в точках А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ=10 см, АА1=15,5 см, ВВ1=21,5 см.

Решение:

Задача описывает ситуацию с параллельными прямыми, проведенными перпендикулярно к плоскости, и секущими. Это задача на применение теоремы Фалеса или подобных треугольников.

У нас есть прямая АВ, и перпендикуляры к плоскости \( \alpha \) — это отрезки \( AA_1 \) и \( BB_1 \). Точки \( A_1 \) и \( B_1 \) лежат в плоскости \( \alpha \). Отрезок \( A_1B_1 \) — это проекция отрезка \( AB \) на плоскость \( \alpha \).

Поскольку \( AA_1 \) и \( BB_1 \) перпендикулярны к плоскости \( \alpha \), они параллельны между собой: \( AA_1 \parallel BB_1 \).

Рассмотрим трапецию \( AA_1B_1B \) с основаниями \( AA_1 \) и \( BB_1 \) и боковой стороной \( AB \) и \( A_1B_1 \). На самом деле, \( A_1B_1 \) не обязательно является основанием.

Представим себе, что мы смотрим на эту конструкцию сверху (со стороны точки А). Тогда \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — это параллельные отрезки, перпендикулярные к некоторой прямой на плоскости. Точка \( A_1 \) и \( B_1 \) на плоскости.

Можно провести через точку \( A \) прямую, параллельную \( A_1B_1 \). Пусть эта прямая пересекает \( BB_1 \) в точке \( C \).

Тогда \( AA_1B_1C \) будет прямоугольником, и \( A_1B_1 = AC \), а \( BC = AA_1 = 15,5 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( AB \) — гипотенуза.

\( AB = 10 \) см.

\( BC = BB_1 - BC_{прямоугольника} = BB_1 - AA_1 = 21,5 - 15,5 = 6 \) см.

По теореме Пифагора в треугольнике \( ABC \):

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( 10^2 = AC^2 + 6^2 \)

\( 100 = AC^2 + 36 \)

\( AC^2 = 100 - 36 = 64 \)

\( AC = \sqrt{64} = 8 \) см.

Так как \( A_1B_1 = AC \), то \( A_1B_1 = 8 \) см.

Среди предложенных вариантов:

1. 16 - неверно.
2. 8 - верно.
3. 14 - неверно.
4. 13 - неверно.

Ответ: 2) 8.