9. Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла ВСД, угол MCD равен 50°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC. Это значит, что углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).

Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD. Это означает, что он делит этот угол на два равных угла:

\( \angle BCM = \angle MCD \)

По условию, \( \angle MCD = 50° \).

Следовательно, \( \angle BCM = 50° \).

Внешний угол BCD равен сумме этих двух углов:

\( \angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 50° + 50° = 100° \)

Угол BCD является смежным с углом ACB. Сумма смежных углов равна 180°:

\( \angle ACB + \angle BCD = 180° \)

\( \angle ACB + 100° = 180° \)

\( \angle ACB = 180° - 100° = 80° \)

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \)

Так как \( \angle BAC = \angle ABC \) и \( \angle ACB = 80° \), подставим эти значения:

\( \angle BAC + \angle BAC + 80° = 180° \)

\( 2 \angle BAC = 180° - 80° \)

\( 2 \angle BAC = 100° \)

\( \angle BAC = \frac{100°}{2} = 50° \)

Ответ: 50.