9. Средний размер вклада в отделении банка равен 200 000 р. со стандартным отклонением 150 000 р. Оцените вероятность того, что случайно выбранный вклад не превысит 800 000 р.

Решение:

Дано: \( E(X) = 200000 \) р., \( \sigma = 150000 \) р.

Нужно оценить вероятность \( P(X \le 800000) \).

Удобнее оценить противоположное событие: \( P(X > 800000) \).

Используем неравенство Чебышёва: \( P(|X - E(X)| \ge k \cdot \sigma) \le \frac{1}{k^2} \).

У нас \( X > 800000 \), что означает \( X - E(X) > 800000 - 200000 = 600000 \).

Таким образом, \( |X - E(X)| \ge 600000 \). Значит, \( k \cdot \sigma = 600000 \).

Находим \( k \): \( k = \frac{600000}{\sigma} = \frac{600000}{150000} = 4 \).

По неравенству Чебышёва:

\( P(X > 800000) = P(|X - 200000| \ge 600000) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0.0625 \).

Теперь найдём вероятность исходного события:

\( P(X \le 800000) = 1 - P(X > 800000) \).

Так как \( P(X > 800000) \le 0.0625 \), то \( P(X \le 800000) \ge 1 - 0.0625 = 0.9375 \).

Неравенство Чебышёва дает нижнюю оценку. Для верхней оценки \( P(X \le 800000) \) мы можем использовать тот факт, что \( P(X > 800000) \le 0.0625 \), что означает \( P(X \le 800000) \ge 1 - 0.0625 \). Однако, нас просят оценить \( P(X \le 800000) \). Мы можем сказать, что \( P(X \le 800000) \le 1 \) (это тривиальная оценка), но Чебышев дает нам \( P(X > 800000) \le 0.0625 \).

Чтобы дать верхнюю оценку \( P(X \le 800000) \), нужно оценить \( P(X > 800000) \). Мы получили \( P(X > 800000) \le 0.0625 \).

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранный вклад не превысит 800 000 р., оценивается как \( P(X \le 800000) \ge 0.9375 \). (Неравенство Чебышёва даёт нижнюю оценку для \( P(X \le 800000) \)).