11. Масса арбуза имеет математическое ожидание 10 кг и стандартное отклонение 2 кг. Оцените вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов.

Решение:

Дано: \( E(X) = 10 \) кг, \( \sigma = 2 \) кг.

Общая масса: 1 т = 1000 кг.

Нужно оценить вероятность того, что в 1000 кг окажется не более 105 арбузов. Это означает, что количество арбузов \( N \le 105 \).

Сначала найдём ожидаемое количество арбузов в 1000 кг:

\( E(N) = \frac{1000 \text{ кг}}{E(X) \text{ кг/арбуз}} = \frac{1000}{10} = 100 \) арбузов.

Теперь найдём стандартное отклонение для количества арбузов (приблизительно, используя формулу для стандартного отклонения отношения, если массы арбузов независимы и имеют одинаковое распределение):

\( \sigma_N = \frac{\sigma_X}{E(X)} \sqrt{E(N)} = \frac{2 \text{ кг}}{10 \text{ кг}} \sqrt{100} = 0.2 \times 10 = 2 \).

Итак, \( E(N) = 100 \) и \( \sigma_N = 2 \).

Мы хотим оценить \( P(N \le 105) \).

Используем неравенство Чебышёва: \( P(|N - E(N)| \ge k \cdot \sigma_N) \le \frac{1}{k^2} \).

Нас интересует \( N \le 105 \). Это означает, что \( N - E(N) \le 105 - 100 = 5 \).

Чтобы использовать неравенство Чебышёва, мы можем оценить противоположное событие \( P(N > 105) \).

\( N > 105 \) означает \( |N - E(N)| > 5 \).

\( k \cdot \sigma_N = 5 \).

\( k = \frac{5}{\sigma_N} = \frac{5}{2} = 2.5 \).

По неравенству Чебышёва:

\( P(N > 105) = P(|N - 100| > 5) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{2.5^2} = \frac{1}{6.25} = 0.16 \).

Теперь найдём вероятность исходного события:

\( P(N \le 105) = 1 - P(N > 105) \).

Так как \( P(N > 105) \le 0.16 \), то \( P(N \le 105) \ge 1 - 0.16 = 0.84 \).

Ответ: Вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов, оценивается как \( P(N \le 105) \ge 0.84 \).