7. Случайная величина X имеет математическое ожидание E(X) = 1 и дисперсию D(X) = 0,04. Оцените вероятность события X > 1,5. Сравните полученный результат с результатом упражнения 1 и объясните разницу.

Решение:

Используем неравенство Чебышёва для оценки вероятности события \( P(X > 1.5) \).

Неравенство Чебышёва: \( P(|X - E(X)| \ge k \cdot \sigma) \le \frac{1}{k^2} \), где \( \sigma \) — стандартное отклонение.

Для \( X > 1.5 \) имеем \( X - E(X) > 1.5 - 1 = 0.5 \).

Стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.04} = 0.2 \).

Нам нужно оценить \( P(X - E(X) > 0.5) \).

Перепишем условие как \( P(|X - 1| > 0.5) \). Здесь \( k \cdot \sigma = 0.5 \), поэтому \( k = \frac{0.5}{0.2} = 2.5 \).

По неравенству Чебышёва: \( P(|X - 1| \ge 0.5) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{2.5^2} = \frac{1}{6.25} = 0.16 \).

Так как \( P(X > 1.5) \) является частью \( P(|X - 1| \ge 0.5) \) (так как \( X > 1.5 \) означает \( X - 1 > 0.5 \), что в свою очередь подразумевает \( |X - 1| \ge 0.5 \)), то \( P(X > 1.5) \le P(|X - 1| \ge 0.5) \le 0.16 \).

Ответ: Вероятность события \( X > 1.5 \) оценивается как \( P(X > 1.5) \le 0.16 \).