10. Масса яблока имеет математическое ожидание 200 г и стандартное отклонение 50 г. Оцените вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок.

Решение:

Дано: \( E(X) = 200 \) г, \( \sigma = 50 \) г.

Общая масса: 100 кг = 100000 г.

Нужно найти вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок. Это означает, что средняя масса одного яблока должна быть \( \frac{100000}{N} \), где \( N \ge 490 \).

Или, что то же самое, \( N \ge 490 \) яблок при общей массе 100000 г.

Рассмотрим случай, когда мы имеем ровно 490 яблок. Средняя масса одного яблока будет \( \frac{100000}{490} \) г.

\( \frac{100000}{490} \approx 204.08 \) г.

Пусть \( Y \) — масса одного яблока. \( E(Y) = 200 \) г, \( \sigma_Y = 50 \) г.

Нам нужно оценить вероятность того, что при выбранной массе \( M = 100000 \) г, количество яблок \( N \ge 490 \).

Это эквивалентно оценке вероятности того, что средняя масса одного яблока \( \frac{M}{N} \ge \frac{100000}{490} \approx 204.08 \) г.

Мы хотим оценить \( P(\frac{M}{N} \ge 204.08) \).

\( P(Y \ge 204.08) \).

Используем неравенство Чебышёва для \( Y \): \( P(|Y - E(Y)| \ge k \cdot \sigma_Y) \le \frac{1}{k^2} \).

У нас \( Y \ge 204.08 \), значит \( Y - E(Y) \ge 204.08 - 200 = 4.08 \).

\( k \cdot \sigma_Y = 4.08 \).

\( k = \frac{4.08}{\sigma_Y} = \frac{4.08}{50} = 0.0816 \).

\( P(Y \ge 204.08) \le P(|Y - 200| \ge 4.08) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{0.0816^2} \approx \frac{1}{0.00665856} \approx 150.18 \).

Эта оценка неинформативна, так как \( P \le 150.18 \) всегда верно.

Попробуем оценить через количество яблок. Пусть \( N \) — количество яблок в 100 кг. \( E(N) = \frac{100000}{200} = 500 \).

Стандартное отклонение для количества яблок (приблизительно, если считать, что массы яблок независимы и имеют одинаковое распределение): \( \sigma_N = \frac{\sigma_Y}{E(Y)} \sqrt{E(N)} = \frac{50}{200} \sqrt{500} = 0.25 \sqrt{500} \approx 0.25 \times 22.36 \approx 5.59 \).

Нам нужно оценить \( P(N \ge 490) \).

Используем неравенство Чебышёва для \( N \): \( P(|N - E(N)| \ge k \cdot \sigma_N) \le \frac{1}{k^2} \).

У нас \( N \ge 490 \), что означает \( N - E(N) \ge 490 - 500 = -10 \). Мы хотим оценить \( P(N \ge 490) \).

Можно оценить \( P(N < 490) \). \( N < 490 \) означает \( E(N) - N > 500 - 490 = 10 \). То есть \( |N - E(N)| > 10 \).

\( k \cdot \sigma_N = 10 \).

\( k = \frac{10}{\sigma_N} = \frac{10}{5.59} \approx 1.7889 \).

\( P(N < 490) = P(|N - 500| > 10) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1.7889^2} \approx \frac{1}{3.1998} \approx 0.3125 \).

Тогда \( P(N \ge 490) = 1 - P(N < 490) \ge 1 - 0.3125 = 0.6875 \).

Ответ: Вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок, оценивается как \( P(N \ge 490) \ge 0.6875 \).