9. Решите уравнение (2x² + 7x + 6) / (x² - 4) = 1.

Решение:

Чтобы решить это дробно-рациональное уравнение, сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатель не равен нулю.

1. Найдем значения \( x \), при которых знаменатель \( x^2 - 4 = 0 \):
• \( x^2 = 4 \)
• \( x = \pm 2 \).
2. Значит, \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
3. Теперь решим уравнение, умножив обе части на знаменатель \( x^2 - 4 \):
• \( 2x^2 + 7x + 6 = 1 \cdot (x^2 - 4) \)
• \( 2x^2 + 7x + 6 = x^2 - 4 \)
4. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \( 2x^2 - x^2 + 7x + 6 + 4 = 0 \)
• \( x^2 + 7x + 10 = 0 \)
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• \( a = 1, b = 7, c = 10 \)
• \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{9} = 3 \)
• Найдем корни:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5 \)
6. Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ. Мы нашли, что \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
7. Корень \( x_1 = -2 \) не подходит, так как он входит в запрещенные значения.
8. Корень \( x_2 = -5 \) подходит.

Ответ: \( x = -5 \).