8. Найдите область значений функции y = x² + 6x + 5, где x е [-6; 2]

Решение:

Функция \( y = x^2 + 6x + 5 \) — это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше нуля).

Чтобы найти область значений на заданном отрезке \( [-6; 2] \), нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

1. Найдем вершину параболы. Координата \( x \) вершины находится по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} \).
2. В нашей функции \( a = 1, b = 6 \).
3. \( x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \).
4. Значение \( x_v = -3 \) входит в заданный отрезок \( [-6; 2] \).
5. Найдем значение функции в вершине (это будет наименьшее значение, так как ветви параболы направлены вверх):
• \( y_v = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \).
6. Теперь найдем значения функции на концах отрезка:
• При \( x = -6 \): \( y = (-6)^2 + 6(-6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 \).
• При \( x = 2 \): \( y = (2)^2 + 6(2) + 5 = 4 + 12 + 5 = 21 \).
7. Сравним полученные значения: \( -4, 5, 21 \).
8. Наименьшее значение функции на отрезке равно \( -4 \) (в вершине).
9. Наибольшее значение функции на отрезке равно \( 21 \) (на правом конце отрезка).

Область значений функции на данном отрезке — это интервал от наименьшего до наибольшего значения.

Ответ: Область значений функции на отрезке \( [-6; 2] \) равна \( [-4; 21] \).