9. Решите систему уравнений { x - y = -5, x² - 2xy - y² = 17.

Задание 9. Система нелинейных уравнений

Нам нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} x - y = -5 \\ x^2 - 2xy - y^2 = 17 \end{cases} \]

1. Выразим x через y из первого уравнения:

\[ x = y - 5 \]

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (y - 5)^2 - 2(y - 5)y - y^2 = 17 \]

3. Раскроем скобки и упростим:

\[ (y^2 - 10y + 25) - (2y^2 - 10y) - y^2 = 17 \]

\[ y^2 - 10y + 25 - 2y^2 + 10y - y^2 = 17 \]

4. Приведём подобные слагаемые:

\[ (y^2 - 2y^2 - y^2) + (-10y + 10y) + 25 = 17 \]

\[ -2y^2 + 0y + 25 = 17 \]

\[ -2y^2 = 17 - 25 \]

\[ -2y^2 = -8 \]

\[ y^2 = \frac{-8}{-2} \]

\[ y^2 = 4 \]

5. Находим значения y:

\[ y_1 = 2 \]

\[ y_2 = -2 \]

6. Находим соответствующие значения x, подставив y в уравнение x = y - 5:

Если \( y_1 = 2 \), то \( x_1 = 2 - 5 = -3 \).

Если \( y_2 = -2 \), то \( x_2 = -2 - 5 = -7 \).

7. Проверим полученные пары решений во втором уравнении:

Для пары (-3, 2): \( (-3)^2 - 2(-3)(2) - (2)^2 = 9 + 12 - 4 = 17 \). Верно.

Для пары (-7, -2): \( (-7)^2 - 2(-7)(-2) - (-2)^2 = 49 - 28 - 4 = 17 \). Верно.

Ответ: (-3; 2), (-7; -2)