9. Решите систему уравнений { (x - y)² + 4(x + y)² = 5; x² - 2xy + 9y² = 9.

Решение:

1. Раскроем скобки в первом уравнении:
   • (x² - 2xy + y²) + 4(x² + 2xy + y²) = 5
   • x² - 2xy + y² + 4x² + 8xy + 4y² = 5
   • 5x² + 6xy + 5y² = 5
2. Теперь у нас система:
   • 5x² + 6xy + 5y² = 5
   • x² - 2xy + 9y² = 9
3. Попробуем выразить x или y из второго уравнения. Это может быть сложно. Вместо этого, попробуем использовать метод исключения или пропорции.
4. Умножим второе уравнение на 5/9, чтобы коэффициент при y² стал равен 5:
   • (5/9)(x² - 2xy + 9y²) = (5/9) * 9
   • (5/9)x² - (10/9)xy + 5y² = 5
5. Приравняем левые части первого уравнения и модифицированного второго:
   • 5x² + 6xy + 5y² = (5/9)x² - (10/9)xy + 5y²
   • 5x² + 6xy = (5/9)x² - (10/9)xy
   • 5x² - (5/9)x² + 6xy + (10/9)xy = 0
   • (45/9 - 5/9)x² + (54/9 + 10/9)xy = 0
   • (40/9)x² + (64/9)xy = 0
   • Умножим на 9/8:
   • 5x² + 8xy = 0
   • x(5x + 8y) = 0
6. Отсюда получаем два случая:
   • Случай 1: x = 0
     • Подставим x = 0 во второе уравнение системы:
     • 0² - 2(0)y + 9y² = 9
     • 9y² = 9
     • y² = 1
     • y = ±1
     • Получаем решения: (0, 1) и (0, -1).
   • Случай 2: 5x + 8y = 0 ⇒ 5x = -8y ⇒ x = -8y/5
     • Подставим x = -8y/5 в второе уравнение:
     • (-8y/5)² - 2(-8y/5)y + 9y² = 9
     • 64y²/25 + 16y²/5 + 9y² = 9
     • Умножим на 25:
     • 64y² + 16y² * 5 + 9y² * 25 = 9 * 25
     • 64y² + 80y² + 225y² = 225
     • 369y² = 225
     • y² = 225 / 369
     • Сократим дробь на 9: y² = 25 / 41
     • y = ±√(25/41) = ±5/√41
     • Если y = 5/√41, то x = -8/5 * (5/√41) = -8/√41
     • Если y = -5/√41, то x = -8/5 * (-5/√41) = 8/√41
     • Получаем решения: (-8/√41, 5/√41) и (8/√41, -5/√41).

Ответ: (0, 1), (0, -1), (-8/√41, 5/√41), (8/√41, -5/√41).