6. Решите неравенство log₃ log₁ (2x + 1) < 0.

Решение:

1. ОДЗ (Область допустимых значений):
   • 2x + 1 > 0 ⇒ 2x > -1 ⇒ x > -1/2
   • log₁ (2x + 1) > 0 ⇒ 2x + 1 < 1 (так как основание 1/2 < 1) ⇒ 2x < 0 ⇒ x < 0
   • Объединяя условия, получаем ОДЗ: -1/2 < x < 0.
2. Решим внешнее неравенство log₃ (...) < 0:
   • Так как основание логарифма (3) больше 1, аргумент должен быть меньше 1.
   • log₁ (2x + 1) < 3⁰
   • log₁ (2x + 1) < 1
3. Решим полученное неравенство log₁ (...) < 1:
   • Так как основание логарифма (1/2) меньше 1, аргумент должен быть больше 2¹ (знак неравенства меняется).
   • 2x + 1 > (1/2)¹
   • 2x + 1 > 1/2
   • 2x > 1/2 - 1
   • 2x > -1/2
   • x > -1/4
4. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
   • x > -1/4 и -1/2 < x < 0
   • Объединяя эти условия, получаем -1/4 < x < 0.

Ответ: (-1/4; 0).