9. Решить уравнение с параметром. a) A · (x - 3) + 4 = 9 · (x - 3) 6) a · (a - 17) · x = a - 17 B) |x| = a² + 1

Задание 9. Решение уравнений с параметром

а) \( A · (x - 3) + 4 = 9 · (x - 3) \)

Решение:

1. Перенесём все члены с \( (x-3) \) в одну сторону:
2. \[ A(x-3) - 9(x-3) = -4 \]
3. Вынесем \( (x-3) \) за скобки:
4. \[ (x-3)(A - 9) = -4 \]
5. Рассмотрим два случая:
6. Случай 1: \( A - 9
   eq 0 \) (то есть \( A
   eq 9 \)).
7. В этом случае мы можем разделить обе части на \( (A-9) \):
8. \[ x-3 = \frac{-4}{A-9} \]
9. \[ x = 3 - \frac{4}{A-9} = \frac{3(A-9) - 4}{A-9} = \frac{3A - 27 - 4}{A-9} = \frac{3A - 31}{A-9} \]
10. Случай 2: \( A - 9 = 0 \) (то есть \( A = 9 \)).
11. Тогда уравнение примет вид:
12. \[ (x-3)(9 - 9) = -4 \]
13. \[ (x-3) · 0 = -4 \]
14. \[ 0 = -4 \]
15. Это равенство ложно, значит, при \( A = 9 \) уравнение не имеет решений.

Ответ:

• Если \( A
  eq 9 \), то \( x = \frac{3A - 31}{A-9} \).
• Если \( A = 9 \), то решений нет.

б) \( a · (a - 17) · x = a - 17 \)

Решение:

1. Рассмотрим два случая для параметра \( a \).
2. Случай 1: \( a - 17
   eq 0 \) (то есть \( a
   eq 17 \)).
3. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на \( (a - 17) \):
4. \[ a · x = 1 \]
5. Теперь рассмотрим два подслучая для \( a \):
6. * Если \( a
   eq 0 \) (и \( a
   eq 17 \)), то можно разделить на \( a \):
7. \[ x = \frac{1}{a} \]
8. * Если \( a = 0 \) (и \( a
   eq 17 \)), то уравнение станет:
9. \[ 0 · (0 - 17) · x = 0 - 17 \]
10. \[ 0 = -17 \]
11. Это равенство ложно, значит, при \( a = 0 \) решений нет.
12. Случай 2: \( a - 17 = 0 \) (то есть \( a = 17 \)).
13. Тогда исходное уравнение примет вид:
14. \[ 17 · (17 - 17) · x = 17 - 17 \]
15. \[ 17 · 0 · x = 0 \]
16. \[ 0 = 0 \]
17. Это равенство верно для любого \( x \).

Ответ:

• Если \( a = 17 \), то \( x \) — любое действительное число.
• Если \( a = 0 \), то решений нет.
• Если \( a
  eq 17 \) и \( a
  eq 0 \), то \( x = \frac{1}{a} \).

в) \( |x| = a^2 + 1 \)

Решение:

1. Рассмотрим выражение \( a^2 + 1 \).
2. Так как \( a^2 \) всегда больше или равно 0 ( \( a^2 ≥ 0 \) ), то \( a^2 + 1 \) всегда больше 1 ( \( a^2 + 1 > 1 \) ).
3. Значит, правая часть уравнения \( a^2 + 1 \) всегда положительна.
4. Уравнение вида \( |x| = C \), где \( C > 0 \), имеет два решения: \( x = C \) и \( x = -C \).
5. В нашем случае \( C = a^2 + 1 \).
6. Следовательно, \( x = a^2 + 1 \) или \( x = -(a^2 + 1) \).

Ответ: \( x = a^2 + 1 \) или \( x = -(a^2 + 1) \) для любого действительного значения \( a \).