5. Мотоциклист рассчитал, что если он будет ехать из поселка до станции со скоростью 32 км/ч, то он приедет на станцию за 30 мин до отхода поезда. Однако из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 7 км/ч меньшей и поэтому опоздал к поезду на 12 мин. Чему равно расстояние от поселка до станции?

Задание 5. Движение мотоциклиста

Решение:

1. Пусть \( S \) — расстояние от поселка до станции (в км), а \( t \) — запланированное время в пути (в часах).
2. По условию, запланированная скорость \( v_1 = 32 \) км/ч.
3. Тогда \( S = v_1 imes t \), то есть \( S = 32t \).
4. Мотоциклист должен был приехать за 30 минут (0.5 часа) до отхода поезда. Это значит, что время в пути должно было быть на 0.5 часа меньше времени, отведенного на поездку. Время отхода поезда обозначим как \( T_{поезда} \). Тогда \( t = T_{поезда} - 0.5 \).
5. Фактическая скорость мотоциклиста: \( v_2 = 32 - 7 = 25 \) км/ч.
6. Фактическое время в пути: \( t_2 = S / v_2 = S / 25 \).
7. Из-за ненастной погоды мотоциклист опоздал к поезду на 12 минут (12/60 = 0.2 часа). Это означает, что фактическое время в пути \( t_2 \) оказалось на 0.2 часа больше времени отхода поезда \( T_{поезда} \).
8. Итак, \( t_2 = T_{поезда} + 0.2 \).
9. Из \( t = T_{поезда} - 0.5 \) следует, что \( T_{поезда} = t + 0.5 \).
10. Подставим это в уравнение для \( t_2 \): \( t_2 = (t + 0.5) + 0.2 = t + 0.7 \).
11. Теперь у нас есть два выражения для \( S \) и \( t_2 \) через \( t \) и \( S \):
12. \[ S = 32t \]
13. \[ S = 25t_2 \]
14. Подставим \( t_2 = t + 0.7 \): \( S = 25(t + 0.7) = 25t + 17.5 \).
15. Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными \( S \) и \( t \):
16. \[ S = 32t \]
17. \[ S = 25t + 17.5 \]
18. Приравняем правые части:
19. \[ 32t = 25t + 17.5 \]
20. \[ 32t - 25t = 17.5 \]
21. \[ 7t = 17.5 \]
22. \[ t = \frac{17.5}{7} = 2.5 \) часа.
23. Теперь найдём расстояние \( S \), используя \( S = 32t \):
24. \[ S = 32 imes 2.5 = 80 \] км.

Проверка:

• Запланированное время: \( t = 2.5 \) часа.
• Запланированная скорость: \( 32 \) км/ч.
• Расстояние: \( 32 imes 2.5 = 80 \) км.
• Фактическая скорость: \( 25 \) км/ч.
• Фактическое время: \( 80 / 25 = 3.2 \) часа.
• Разница во времени: \( 3.2 - 2.5 = 0.7 \) часа, что равно 42 минутам.
• По условию, он должен был приехать на 30 мин раньше поезда, а опоздал на 12 мин. Разница между запланированным временем и фактическим: \( 30 + 12 = 42 \) минуты. Это совпадает с нашим расчётом.

Ответ: Расстояние от поселка до станции равно 80 км.