6. Допуская, что стрелки часов движутся без скачков, найдите через какое время минутная стрелка догонит часовую, если сейчас часы показывают 19:48?

Задание 6. Движение стрелок часов

Решение:

1. Минутная стрелка совершает полный оборот (360°) за 60 минут. Её скорость \( v_m = 360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ / \text{мин} \).
2. Часовая стрелка совершает полный оборот (360°) за 12 часов (720 минут). Её скорость \( v_h = 360^\circ / 720 \text{ мин} = 0.5^\circ / \text{мин} \).
3. В 19:48 минутная стрелка находится на отметке 48 минут, что соответствует углу \( 48 \text{ мин} \times 6^\circ / \text{мин} = 288^\circ \) от отметки 12.
4. Часовая стрелка в 19:48 находится между отметками 19 (или 7) и 20 (или 8).
5. Положение часовой стрелки в часах и минутах: 19 часов 48 минут.
6. Переведём время в минуты от 12:00: \( 19 imes 60 + 48 = 1140 + 48 = 1188 \) минут.
7. Положение часовой стрелки в градусах: \( 1188 \text{ мин} \times 0.5^\circ / \text{мин} = 594^\circ \).
8. Чтобы привести к положению на циферблате (от 0 до 360°), вычтем полные обороты: \( 594^\circ - 360^\circ = 234^\circ \).
9. Итак, в 19:48 минутная стрелка находится на \( 288^\circ \), а часовая — на \( 234^\circ \).
10. Минутная стрелка должна «догнать» часовую. Разница в углах: \( 288^\circ - 234^\circ = 54^\circ \).
11. Относительная скорость, с которой минутная стрелка догоняет часовую: \( v_{rel} = v_m - v_h = 6^\circ / \text{мин} - 0.5^\circ / \text{мин} = 5.5^\circ / \text{мин} \).
12. Время, за которое минутная стрелка догонит часовую, равно разнице углов, делённой на относительную скорость:
13. \[ t = \frac{54^\circ}{5.5^\circ / \text{мин}} = \frac{54}{5.5} = \frac{540}{55} = \frac{108}{11} \) минут.
14. \( \frac{108}{11} \) минут — это \( 9 \) целых и \( 9/11 \) минуты.
15. \( \frac{9}{11} \text{ минуты} \approx 0.82 \text{ минуты} \).
16. \( 0.82 imes 60 \text{ секунд} \approx 49 \text{ секунд} \).
17. Таким образом, минутная стрелка догонит часовую примерно через 9 минут 49 секунд.

Ответ: Через \( \frac{108}{11} \) минут (или примерно 9 минут 49 секунд).