9. Решить неравенство: log8 (4 - 2x) ≥ 2

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_8(4 - 2x) \geq 2 \) необходимо учесть два условия:

1. Основание логарифма больше 1, что означает, что при снятии логарифма знак неравенства сохраняется.

2. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля (область допустимых значений).

Шаг 1: Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

\[ 4 - 2x > 0 \]

\[ 4 > 2x \]

\[ 2 > x \]

Итак, \( x < 2 \).

Шаг 2: Решим само неравенство.

Преобразуем правую часть неравенства в логарифм по основанию 8:

\[ 2 = \log_8(8^2) = \log_8(64) \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \log_8(4 - 2x) \geq \log_8(64) \]

Так как основание логарифма (8) больше 1, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства:

\[ 4 - 2x \geq 64 \]

Решим полученное линейное неравенство:

\[ -2x \geq 64 - 4 \]

\[ -2x \geq 60 \]

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

\[ x \leq \frac{60}{-2} \]

\[ x \leq -30 \]

Шаг 3: Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ.

Мы получили два условия: \( x < 2 \) (из ОДЗ) и \( x \leq -30 \) (из решения неравенства).

Пересечение этих двух интервалов — это \( x \leq -30 \).

Ответ: x ≤ -30.