9. Путешественники спустятся вниз по течению реки за 2 суток на плоту, а обратно вернутся теплоходом за 2 часа. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть \(v_{т}\) — собственная скорость теплохода (км/ч), а \(v_{р}\) — скорость течения реки (км/ч). По условию, \(v_{р} = 2\) км/ч.

Движение вниз по течению (на плоту):

• Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_{плота} = v_{р} = 2 \) км/ч.
• Время движения вниз: \( t_{вниз} = 2 \) суток. Переведём в часы: \( 2 \text{ суток} \times 24 \text{ ч/сутки} = 48 \) часов.
• Расстояние, пройденное вниз по течению: \( S = v_{плота} \times t_{вниз} = 2 \text{ км/ч} \times 48 \text{ ч} = 96 \) км.

Движение обратно (на теплоходе):

• Скорость теплохода вниз по течению: \( v_{теплохода, вниз} = v_{т} + v_{р} = v_{т} + 2 \) км/ч.
• Скорость теплохода вверх по течению: \( v_{теплохода, вверх} = v_{т} - v_{р} = v_{т} - 2 \) км/ч.
• Время движения вверх: \( t_{вверх} = 2 \) часа.
• Расстояние, пройденное вверх по течению, равно расстоянию, пройденному вниз: \( S = 96 \) км.

Теперь составим уравнение, используя формулу расстояния для движения вверх:

\[ S = v_{теплохода, вверх} \times t_{вверх} \]

\[ 96 = (v_{т} - 2) \times 2 \]

Решим уравнение:

1. Разделим обе части на 2:
2. \( \frac{96}{2} = v_{т} - 2 \)
3. \( 48 = v_{т} - 2 \)
4. Перенесём -2 в левую часть:
5. \( 48 + 2 = v_{т} \)
6. \( v_{т} = 50 \)

Собственная скорость теплохода равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.