9. Образующая конуса 6 см и наклонена к основанию под углом 30°. Найдите объем конуса.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

Из условия задачи известно:

• Образующая \( l = 6 \) см.
• Угол наклона образующей к основанию \( \alpha = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса \( h \), радиусом основания \( r \) и образующей \( l \):

1. Высота \( h \) является катетом, противолежащим углу \( \alpha \). Используем синус: \( \sin \alpha = \frac{h}{l} \) \( h = l \u0030 \sin \alpha = 6 0 \sin 30^{\circ} = 6 0 \frac{1}{2} = 3 \) см.
2. Радиус \( r \) является катетом, прилежащим к углу \( \alpha \). Используем косинус: \( \cos \alpha = \frac{r}{l} \) \( r = l \u0030 \cos \alpha = 6 0 \cos 30^{\circ} = 6 0 \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
3. Теперь вычислим объем конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 (3) \)
4. \( V = \frac{1}{3} \pi (9 0 3) (3) = \frac{1}{3} \pi (27) (3) = 27\pi \) см³.

Ответ: 27π см³.