8. Докажите тождество \( \frac{1 - \sin^2 a}{1 - \cos^2 a} \cdot \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 a} = 1 \)

Решение:

Начнем с левой части тождества и будем преобразовывать ее, используя тригонометрические формулы.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).
2. Из него следует:

• \( 1 - \sin^2 a = \cos^2 a \)
• \( 1 - \cos^2 a = \sin^2 a \)

3. Заменим числитель и знаменатель первой дроби:

\[ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \]

4. Теперь вспомним определение котангенса: \( \operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a} \). Следовательно, \( \operatorname{ctg}^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \).
5. Подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot \frac{1}{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}} \]

6. Упростим выражение:

\[ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = 1 \]

Левая часть тождества равна правой части.

Тождество доказано.