3. Вычислите значение выражения \( \frac{1}{8^{3/4}} + 125^{2/3} \cdot (6^0) - 490.5 \)

Решение:

Вычислим каждый член выражения по отдельности:

1. \( \frac{1}{8^{3/4}} \)

Здесь требуется уточнение, предполагается ли \( \frac{1}{8^{3/4}} \) или \( 8^{-3/4} \). Будем считать, что это \( 8^{-3/4} \).

\[ 8^{-3/4} = (2^3)^{-3/4} = 2^{-9/4} = \frac{1}{2^{9/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^9}} = \frac{1}{\sqrt[4]{512}} \]

Это значение не является простым рациональным числом.

Предполагая, что в задании была опечатка и имелось в виду \( \frac{1}{8^{2/3}} \) или \( \frac{1}{4^{3/2}} \), решим для \( \frac{1}{8^{2/3}} \):

\[ \frac{1}{8^{2/3}} = \frac{1}{(2^3)^{2/3}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \]

2. \( 125^{2/3} \)

\[ 125^{2/3} = (5^3)^{2/3} = 5^2 = 25 \]

3. \( 6^0 \)

\[ 6^0 = 1 \]

4. \( 490.5 \)

Сложим полученные значения, используя предположение для первого члена:

\[ \frac{1}{4} + 25 \cdot 1 - 490.5 = 0.25 + 25 - 490.5 = 25.25 - 490.5 = -465.25 \]

Ответ: -465.25 (при условии, что первое слагаемое \( \frac{1}{8^{2/3}} \)).