5. Найдите точку максимума функции f(x) = 5 + 12x - x³

Решение:

1. Найдем первую производную функции:

\[ f'(x) = (5 + 12x - x^3)' \]\[ f'(x) = 12 - 3x^2 \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 12 - 3x^2 = 0 \]\[ 3x^2 = 12 \]\[ x^2 = 4 \]\[ x = \pm 2 \]

3. Определим, является ли каждая из этих точек точкой максимума, с помощью второй производной. Найдем вторую производную:

\[ f''(x) = (12 - 3x^2)' \]\[ f''(x) = -6x \]

4. Проверим знак второй производной в критических точках:

• При \( x = 2 \): \( f''(2) = -6 \cdot 2 = -12 \). Так как \( f''(2) < 0 \), то в точке \( x = 2 \) функция имеет максимум.
• При \( x = -2 \): \( f''(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 \). Так как \( f''(-2) > 0 \), то в точке \( x = -2 \) функция имеет минимум.

Ответ: Точка максимума находится при x = 2.