9. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 9, боковое ребро равно 6.

Решение:

1. Найдем апофему (h_a) основания:

Основание — правильный треугольник. Апофема (высота) равностороннего треугольника со стороной \( a = 9 \) равна:

\[ h_{a,осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \]

2. Найдем радиус вписанной окружности (r) в основание:

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен 1/3 его высоты:

\[ r = \frac{1}{3} h_{a,осн} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

3. Найдем высоту (H) пирамиды:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом вписанной окружности (r) и боковым ребром (l):

\[ H^2 + r^2 = l^2 \]

\[ H^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 6^2 \]

\[ H^2 + \frac{9 \cdot 3}{4} = 36 \]

\[ H^2 + \frac{27}{4} = 36 \]

\[ H^2 = 36 - \frac{27}{4} = \frac{144 - 27}{4} = \frac{117}{4} \]

\[ H = \sqrt{\frac{117}{4}} = \frac{\sqrt{117}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 13}}{2} = \frac{3\sqrt{13}}{2} \]

Ответ: \( \frac{3\sqrt{13}}{2} \).