3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 14, боковые ребра равны 25. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания (S_осн):

Основание — квадрат со стороной \( a = 14 \).

\[ S_{осн} = a^2 = 14^2 = 196 \]

2. Площадь боковой поверхности (S_бок):

Боковая поверхность состоит из 4 равных равнобедренных треугольников. Для нахождения площади одного такого треугольника, нам нужно найти его высоту — апофему (h_a) пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания:

\[ h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2 \]

\[ h_a^2 + (\frac{14}{2})^2 = 25^2 \]

\[ h_a^2 + 7^2 = 625 \]

\[ h_a^2 + 49 = 625 \]

\[ h_a^2 = 625 - 49 = 576 \]

\[ h_a = \sqrt{576} = 24 \]

Площадь одного бокового треугольника:

\[ S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168 \]

Площадь всей боковой поверхности:

\[ S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 168 = 672 \]

3. Полная площадь поверхности (S_полн):

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 196 + 672 = 868 \]

Ответ: 868.