9. Найдите точку экстремума функции у = 8x² + 32x - 6

Решение:

Точки экстремума функции находятся там, где её производная равна нулю или не существует.

1. Найдём производную функции \( y = 8x^2 + 32x - 6 \):
• \( y' = (8x^2)' + (32x)' - (6)' \)
• \( y' = 8(2x) + 32 - 0 \)
• \( y' = 16x + 32 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• \( 16x + 32 = 0 \)
• \( 16x = -32 \)
• \( x = \frac{-32}{16} \)
• \( x = -2 \)
3. Проверим, является ли эта точка точкой экстремума. Для этого определим знак производной слева и справа от \( x = -2 \).
• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)), \( y' = 16(-3) + 32 = -48 + 32 = -16 \) (отрицательная производная, функция убывает).
• При \( x > -2 \) (например, \( x = -1 \)), \( y' = 16(-1) + 32 = -16 + 32 = 16 \) (положительная производная, функция возрастает).
4. Так как производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке \( x = -2 \) находится минимум функции.

Ответ: Точка экстремума функции находится при \( x = -2 \).