9. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Решение:

1. Определим длину отрезка AB.

Поскольку точка C выбрана на отрезке AB, то \( AB = AC + CB \).

\( AB = 75 + 10 = 85 \).

2. Найдем радиус окружности.

Окружность с центром А проходит через точку C. Следовательно, радиус окружности \( R = AC = 75 \).

3. Найдем длину касательной.

Пусть точка касания окружности из точки B будет K. Отрезок BK — это касательная к окружности. Радиус, проведённый в точку касания (AK), перпендикулярен касательной (BK).

Таким образом, треугольник ABK является прямоугольным, где:

• Гипотенуза — AB (расстояние от центра окружности до точки, из которой проведена касательная). \( AB = 85 \).
• Один катет — AK (радиус окружности). \( AK = R = 75 \).
• Второй катет — BK (длина касательной), которую нужно найти.

По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AK^2 + BK^2 \)

\( 85^2 = 75^2 + BK^2 \)

\( 7225 = 5625 + BK^2 \)

\( BK^2 = 7225 - 5625 \)

\( BK^2 = 1600 \)

\( BK = \sqrt{1600} \)

\( BK = 40 \)

Ответ: 40