9. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Рассмотрим четырехугольник, образованный точками касания А и В, центром окружности О и точкой пересечения касательных (назовем ее Р).
• Углы при точках касания (ОАP и ОВP) равны 90°, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.
• Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• Угол АОВ = 360° - 90° - 90° - 72° = 120°.
• Рассмотрим треугольник АОВ. Стороны ОА и ОВ — радиусы, поэтому треугольник равнобедренный.
• Углы ОАВ и ОВА равны.
• Угол АВО = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°.

Ответ: 30°