9. Функция y=f(x) определена на промежутке (-10;2). На рисунке изображен график её производной. Найдите точку Хо, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение, если f(-4)=f(-9)

Решение:

Наибольшее значение функции \( y = f(x) \) достигается в точке, где её производная \( y' = f'(x) \) меняет знак с плюса на минус. По графику видно, что \( f'(x) > 0 \) на промежутке \( (-10; x_0) \) и \( f'(x) < 0 \) на промежутке \( (x_0; 2) \). Следовательно, \( x_0 \) является точкой максимума.

На рисунке график производной \( y = f'(x) \) пересекает ось абсцисс в точке \( x = -5 \). Это означает, что \( f'(x) = 0 \) при \( x = -5 \).

Слева от \( x = -5 \) (например, в точке -6) \( f'(x) > 0 \), а справа от \( x = -5 \) (например, в точке -4) \( f'(x) < 0 \). Таким образом, \( x = -5 \) является точкой локального максимума.

Условие \( f(-4) = f(-9) \) означает, что значения функции в точках \( x = -4 \) и \( x = -9 \) равны. Так как \( f'(x) > 0 \) на промежутке \( (-10; -5) \), функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Значит, \( f(-4) > f(-9) \), что противоречит условию. Это говорит о том, что точка максимума не может быть в \( x=-5 \) и условие \( f(-4)=f(-9) \) должно быть использовано.

В точке \( x_0 \), где \( f(x) \) принимает наибольшее значение, производная \( f'(x) \) должна сменить знак с "+" на "-". На графике это происходит в точке \( x = -5 \).

Так как \( f'(x) \) на графике является производной, то \( f'(x) > 0 \) на \( (-10; -5) \) и \( f'(x) < 0 \) на \( (-5; 2) \). Следовательно, \( x = -5 \) — точка максимума.

Ответ: -5.