10. Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение:

Ищем трехзначное число \( abc \) такое, что \( a+b+c = 20 \) и \( a^2+b^2+c^2 \) делится на 3, но не делится на 9.

Рассмотрим цифры, сумма которых равна 20. Возможные комбинации (без учета порядка):

• 9 + 9 + 2 = 20
• 9 + 8 + 3 = 20
• 9 + 7 + 4 = 20
• 9 + 6 + 5 = 20
• 8 + 8 + 4 = 20
• 8 + 7 + 5 = 20
• 8 + 6 + 6 = 20
• 7 + 7 + 6 = 20

Теперь вычислим сумму квадратов цифр для каждой комбинации и проверим делимость на 3 и 9:

• 9, 9, 2: \( 9^2 + 9^2 + 2^2 = 81 + 81 + 4 = 166 \). 166 не делится на 3 (1+6+6=13).
• 9, 8, 3: \( 9^2 + 8^2 + 3^2 = 81 + 64 + 9 = 154 \). 154 не делится на 3 (1+5+4=10).
• 9, 7, 4: \( 9^2 + 7^2 + 4^2 = 81 + 49 + 16 = 146 \). 146 не делится на 3 (1+4+6=11).
• 9, 6, 5: \( 9^2 + 6^2 + 5^2 = 81 + 36 + 25 = 142 \). 142 не делится на 3 (1+4+2=7).
• 8, 8, 4: \( 8^2 + 8^2 + 4^2 = 64 + 64 + 16 = 144 \). 144 делится на 3 (1+4+4=9) и делится на 9. Не подходит.
• 8, 7, 5: \( 8^2 + 7^2 + 5^2 = 64 + 49 + 25 = 138 \). 138 делится на 3 (1+3+8=12), но не делится на 9. Это подходящий вариант.
• 8, 6, 6: \( 8^2 + 6^2 + 6^2 = 64 + 36 + 36 = 136 \). 136 не делится на 3 (1+3+6=10).
• 7, 7, 6: \( 7^2 + 7^2 + 6^2 = 49 + 49 + 36 = 134 \). 134 не делится на 3 (1+3+4=8).

Число 875 (или 857, 785, 758, 587, 578) удовлетворяет условию. Сумма цифр 8+7+5 = 20. Сумма квадратов цифр \( 8^2+7^2+5^2 = 64+49+25 = 138 \). 138 делится на 3 (138 / 3 = 46), но не делится на 9 (138 / 9 = 15 с остатком 3).

Ответ: 875.