№ 9 Для функции f(x) = x² + 3x + 2 найти первообразную, график которой проходит через точку А(3,1)

Решение:

Первообразная для функции \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) находится интегрированием:

\( F(x) = \int (x^2 + 3x + 2) dx \)

\( F(x) = \frac{x^3}{3} + 3\frac{x^2}{2} + 2x + C \), где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь найдем значение \( C \), используя условие, что график первообразной проходит через точку \( A(3;1) \). Это означает, что при \( x = 3 \) значение функции \( F(x) = 1 \).

\( 1 = \frac{3^3}{3} + 3\frac{3^2}{2} + 2 \cdot 3 + C \)
\( 1 = \frac{27}{3} + 3\frac{9}{2} + 6 + C \)
\( 1 = 9 + \frac{27}{2} + 6 + C \)
\( 1 = 15 + 13.5 + C \)
\( 1 = 28.5 + C \)
\( C = 1 - 28.5 \)
\( C = -27.5 \) или \( C = -\frac{55}{2} \)

Подставляем найденное значение \( C \) в выражение для \( F(x) \):

\( F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 + 2x - \frac{55}{2} \)

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 + 2x - \frac{55}{2} \)