№ 3 Решить неравенство: log₃(x + 6) ≤ log₃(2x - 9)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_3(x+6) \le \log_3(2x-9) \) необходимо учесть два условия:

1. Обязательные условия (область допустимых значений, ОДЗ):
   
   
   
   • Аргументы логарифмов должны быть положительными:
   
   
   • \( x+6 > 0 \) \( \Rightarrow x > -6 \)
   
   
   • \( 2x-9 > 0 \) \( \Rightarrow 2x > 9 \) \( \Rightarrow x > 4.5 \)
   
   
   • Объединяя оба условия, получаем \( x > 4.5 \).
   
   


2. Решение самого неравенства:
   

   Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), функция \( \log_3 t \) является возрастающей. Поэтому знак неравенства сохраняется:

   
   

   \( x+6 \le 2x-9 \)
   \( 6+9 \le 2x-x \)
   \( 15 \le x \)

Теперь объединим решение неравенства \( x \ge 15 \) с ОДЗ \( x > 4.5 \). Получаем:

\( x \ge 15 \)

Ответ: \( [15; +\infty) \)