6. Вычислите интеграл: \( \int_0^2 (x^2 - x) dx \)

Решение:

1. Найдем первообразную для функции \( f(x) = x^2 - x \). Первообразная \( F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \).
2. Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. Подставим пределы интегрирования: \( \int_0^2 (x^2 - x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \).
4. Вычислим значение первообразной в верхнем пределе: \( F(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} = \frac{8}{3} - \frac{4}{2} = \frac{8}{3} - 2 \).
5. Вычислим значение первообразной в нижнем пределе: \( F(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} = 0 - 0 = 0 \).
6. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем: \( F(2) - F(0) = (\frac{8}{3} - 2) - 0 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3} \).

Ответ: \( \frac{2}{3} \).