9. (1 балл) Длина наклонной АК, проведенной из точки А к плоскости \(\alpha\) равна 8 см, а угол между наклонной и этой плоскостью равен 60°. Найдите длину проекции наклонной на плоскость \(\alpha\).

Решение:

Пусть \( AK \) — наклонная, \( A \) — точка, \( K \) — точка на плоскости. Длина наклонной \( AK = 8 \) см.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. Обозначим проекцию как \( AO \), где \( O \) — точка на плоскости, такая что \( AO \perp \alpha \).

Тогда \( \angle KAO = 60^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AKO \), где \( \angle AOK = 90^{\circ} \).

В этом треугольнике \( AK \) — гипотенуза, \( AO \) — прилежащий катет к углу \( \angle KAO \).

Для нахождения длины проекции \( AO \) используем косинус угла:

\[ \cos(\angle KAO) = \frac{AO}{AK} \]

\[ \cos(60^{\circ}) = \frac{AO}{8} \]

Мы знаем, что \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \).

\[ \frac{1}{2} = \frac{AO}{8} \]

Найдем \( AO \):

\[ AO = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \]

Длина проекции наклонной на плоскость равна 4 см.

Ответ: 4 см.